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数学教育心理学节选

[日期:2013-12-25]   发布:校长室 王凌   阅读:1880次        [字体: ]

合格的数学教师,必须具备的三大条件:比较扎实的数学知识、必须懂得教学方法,必须热爱教师工作,具有良好的敬业精神,有强烈的责任心。

 

数学教育心理学是在教育心理学发展和完善的基础上,结合数学学科及其教学的特点发展起来的一门边缘学科。数学教育心理学的基本任务是研究学生的数学学习规律(即如何学)和教师的数学教学规律(如何教),并根据这种规律发展促进数学学科的教与学的方法。

 

数学教育心理学的特点:

1、它的研究目的是为数学的教与学服务,即应该强调应用性。

重点放在研究数学学习的特点和规律,研究如何根据数学学习的规律进行有效的数学教学活动,研究教师诊断和解决学生数学学习困难的方法,研究学生在数学学习活动过程中的个性差异,研究激发学生的数学学习动机等问题。并为学生提供进行有效学习的策略,为教师提供进行有效教学的策略。

2、鲜明的数学学科特点。

教育心理学与数学教育心理学是一般与特殊的关系,但是数学的学习、教学有其自身内在的规律性,这种规律性是一般的教学心理学理论所无法涉及的。例如“为迁移而教”是教育心理学的著名论断,在教育心理学中,关于迁移的理论多种多样,如形式训练说、相同要素说、学习定势理论、认知迁移等。但是把它们用于解释数学学习中的迁移现象时,总有不满意之处。几乎所有的迁移理论都强调一般原理、概括程度高的知识的迁移效果,然而在数学学习中,学生学会了某个公式、定理(属于一般原理、概括程度高),特别是数学思想方法后,在应用的过程中,并不像迁移理论所期待的那样出现大量“正迁移”。因为数学中的特殊与一般、具体与抽象的表现形式与其他学科存在很大的差别,数学理论的抽象性确实比其他事物的抽象性要强的多,从而其适用范围也就广得多,这样在解决具体问题时,数学知识、思想方法与具体问题之间的相互匹配就变得尤为重要并且难以把握,从而常常使学生感到相应的知识或思想方法难以发挥作用。事实上,正是数学的高度抽象性,使得数学的原理具有广泛的应用性,从而也就具有很大的灵活性,这种灵活性便使学生在解决具体问题时常常觉得可用的方法很多,但真正用得上的方法很少。

所以数学教育心理学必须立足与教育理论与数学教学实践之间的相互关系,并且在此基础上重新概括,才能获得比较符合数学学科教学特点的理论�D�D数学教育心理学。

3、数学教育心理学是一门年轻的学科,广大数学教师的数学课堂教学实践经验是数学教育心理学的重要源泉。在研究过程中要注意运用科学的教育与心理研究的方法。

 

 

数学教育中的几个理论问题

一、数学素质及其培养

1、精确的定量思维和准确的定性思维

定量思维是指人们从实际中提炼数学问题,抽象化为数学模型,用数学计算求出此模型的解或近似解,然后回到现实中进行检验,必要时修改模型使之更切合实际,最后编制解题的软件包,以便得到更广泛的方便的应用。

定性思维是对当前所面临的情境的一种整体把握,是通过与头脑中已有数学模型的类比而实现的,是对事物本质的直觉判断。

我们再举一个例子,比如找对象,中国男士对女士的要求常常是"漂亮,温柔,贤慧"非常抽象,是一种非量化思维,没有定量标准,介绍人难以把握.

西方人则将漂亮量化进而标准化,如身高多少,体重多少,身高与体重比例如何,三围(胸,腰,臀)多少,骨骼与肌肉比例如何,皮肤弹性如何,额头到下巴底的距离多少等指标来衡量.西方人将温柔量化进而标准准化,肢体语言幅度多大,说话声音多少分贝,语音调如休整,会不会用语气等指标进行衡量.西方人会用每天花多少时间带小孩,多少时间陪老公,做多少家务,每周烧几顿饭,每周看望公公,婆婆多少次等指标进行衡量.

2、数学地看待事物和对事物进行数学抽象的能力。

学生应该在懂得数学在社会发展进程中的作用以及数学本身的发展历史的基础上,逐渐地了解并探索数学与物质世界、人类生活的关系,以养成从数学的角度看待问题的习惯;另一方面,数学教育又必须抓住并且强化这种机会,以使学生能够体验、理解数学的性质,认识数学可以帮助他们在非数学领域中取得成功,有时这种帮助是决定性的。(第22页上面)

 

3、对事物本质的洞察力和严谨的推理能力。

(第22页下面)一般我们会向学生灌输一些逻辑法则,然后让学生通过模仿来运用这些法则而得到培养,事实上,这种教学只能增加学生记忆上的负担,削弱对法则本质的理解。数学中,逻辑与直觉、推理与猜想总是相互伴随的;开始人们通过学习前人的经验而产生了对数学知识的记忆,当记忆达到一定的丰富程度后,会产生一些有意义的联想,通过类比又会产生新的联想,然后再对联想到的类似物进行归纳、抽象,依靠逻辑推理而产生对事物本质的认识。

有的学者认为,数学是研究自然中的数学现象的科学,因此理解数学首先要靠“观察”数学现象。这里的观察当然不能全靠眼睛,而是依靠某种难以言传的感觉�D�D一种对于数的直觉。这种直觉是数学家凭借自己长期的数学研究实践而逐渐形成的,它使数学家具备了对复杂因果关系的敏锐洞察力,他们可以非常迅速地抓住事物的本质及其相互之间的重要关系。在数学发展的历史上,有许多著名的猜想(哥德巴赫猜想)就是数学家敏锐洞察力的表现。当然证明可能是非常困难的,但是寻求证明工具和证明思想的活动大大推动了数学的进展。可以说数学发展的历史是直觉与逻辑严格性巧妙结合的历史。

 

4、应用数学解决实际问题的意识。

通过数学学习,使学生养成用数学方法观察现实世界,能够在他的职业和日常生活中使用数学,用数学去分析、研究具体现象和事实,并对它们进行组织整理,在自己已有认知结构的基础上进行主动的建构活动,养成用联系的观点看待事物的习惯,形成在不同领域中发现共同特性的能力以及一个理论应用于不同领域的能力,能够恰当地用数学来解释问题,这是数学教育对人的素质培养的又一贡献。

为培养学生用数学的意识,教师应该在数学课堂教学中恰当地引进学生所熟悉的生活环境中的实际问题,加强数学知识发生、发展过程的教学,并要引导学生通过自己的实践认识数学的作用,以培养学生用数学去描述、理解和解决他自己熟悉的社会实际问题的能力。

 

5、用数学语言进行交流的能力和良好的符号意识

使用数学语言可以使人在表达思想时做到清晰、准确、简洁,在处理问题时能够将问题中的各种因素之间的复杂关系表述得条理清楚、结构分明。

数学交流能力是一种重要的数学能力。从数学学习的过程来说,通过学生自己的亲身实践、主动建构而理解数学知识的精神实质、提高数学思维水平,这是一个层次;通过班级、小组或者朋友之间的数学交流,逐渐学会清晰、准确而有逻辑地表达自己的思想,善于倾听别人的理解,内化别人的思想,以达到同学之间的相互学习、相互提高,这又是一个层次。

在数学交流过程中,数学符号扮演了非常重要的角色。由于数学符号实际上是一个内涵非常丰富的“信息组块”,它可以成为人们进行智力活动时理想的思维载体。

值得指出的是:人们对数学交流存在不正确的理解。第一种是数学语言表述的严谨性,教师往往给出规范的语言,使学生感到数学知识神秘莫测,学习过程缺乏生动性、具体性、差异性,产生厌烦心理。(例子:运算律)。第二种是淡化数学语言的应用。不正确地理解课程标准精神,强调体验,忽视语言表达。事实上,为了使自己对知识的理解能够以某种方式恰当地传达给别人,他们又必须学会相互理解。体验有时需要得到数学共同体的认可。

 

6、良好的自我反省和自我调节能力

学会对自己的思维活动进行反省和有效的自我调节,是智慧成熟的标志,才能实现人对自己活动的主动监控。成功学生往往独立思考、恰当选择解题策略、在实施过程中监控活动进程,及时获得反馈信息,并对活动有效性作出判断。

反省可以使人对自己的错误观念进行深刻的理性认识,在剖析产生错误的前因后果后,产生正确的认识,从而产生正确认识,达到“知其然,又知其所以然”。教学中学生往往总是在一个地方出现重复性的错误,老师总是反复强调“这里应该如何如何”,但是学生仍然会是我行我素,究其原因,就是在纠正错误的过程中缺少有效的自我反省。

目前大剂量的解题训练,缺少对解题过程的反思,也很少对解题经验教训进行总结,更不用说对问题的引申、一般化,对数学思想方法的概括了。导致高投入、低产出,师生的负担都比较重。不能拔苗助长、急于求成,要允许学生有学习上的反复,有时间有机会对自己的思维过程进行反省,对自己是怎样发现和解决问题的、应用了哪些基本的思考方法、技能和技巧、走过哪些弯路和犯过哪些错误、原因何在、从中可以获得哪些经验教训等进行认真的剖析,并逐渐培养随时监控自己的数学思维活动的习惯。当然教师在培养学生的反思和自我调节能力时,要有一定的技巧,例如在平时要注意积累学生表现出的心理能力的闪光点或思维障碍的典型材料,有针对性地设计反思问题,并鼓励学生现身说法,开展积极的评价和研讨。

 

数学素质的发展应该具有一系列的阶段性,要经历一个从低级、不随意到高级、随意的过程,在活动过程中表现为从只注意事物的外部联系、物化结构向自觉注意事物的数形结构、洞察事物的内部联系的方向发展。

 

 

二、数学概念的学与教

1、数学概念的获得:概念形成、概念同化

学生理解和掌握概念的过程实际上是掌握同类事物的共同关键属性的过程。同类事物的关键属性可以由学生从大量同类事物的不同例证中独立发现,这种概念获得的方式叫概念形成。

学生利用已有认知结构中的有关知识来理解新概念,这种获得概念的方式叫做概念同化。

由于数学学习是掌握前人已经发现的数学知识,把前人的数学活动经验转变成自己的经验,因此概念同化是学生获得数学概念的最基本方式。小学生由于他们的数学认知结构比较简单、数学知识比较贫乏而具体,在学习新的数学知识时,作为固着点的已有知识往往很少或不具备,这时他们就只能采取概念形成方式来学习。

 

2、概念形成

概念形成的过程:

辨别各种刺激模式。这些刺激模式可以是学生在自己日常生活中的经验或事物,也可以是由教师提供的有代表性的典型事例。但不管哪种刺激模式,都必须经过比较,在知觉水平上进行分析、辨认,根据事物的外部特征进行概括。例如形成长方形的概念,先让学生辨认他们所熟悉的实例,像桌面、黑板、书本表面等。

分化出各种刺激模式的属性。为了理解该类刺激模式的本质属性,就需要对各种刺激模式的各个属性予以分化。例如桌面是木制的,可看成四边形、两组对边平行且相等、四个角相等。黑板、书本表面也各有自己的属性。

抽象出各个刺激模式的共同属性,并提出他们的共同关键属性的种种假设。例如共同属性有:都是四边形、四个角相等、两组对边分别平行并且相等;共同关键属性可假设为:(1)两组对边分别平行并且四个角都是直角的四边形是长方形(2)两组对边分别相等并且四个角都是直角的四边形是长方形(3)四个角都是直角的四边形是长方形。

在特定的情境中检验假设,确定关键属性。如上例中三个假设在各种变式中均出现,所以都可以确定为关键属性。

概括,形成概念。如两组对边分别平行并且有一个角是直角的四边形。

把新概念的共同关键属性推广到同类事物中去。这既是一个在更大范围检验和修正概念定义的过程,又是一个概念应用的过程。从中可以看出概念的本质特征是否被学生真正理解。因此在这个过程中,教师可以用一些概念的等值语言来让学生进行判断和推理。例如“对角线相等并且平分”就是长方形概念的等值语言。这是概念形成的一个重要步骤。

用习惯的形式符号表示新概念。

 

 

3、概念形成教学要注意:

教师提供的刺激模式应该是正例,而且数量恰当。

在提供刺激模式时,应该采用同时呈现的方式,以利于学生进行分析、比较。

选择的例子刺激强度要适当、变化性大、新颖有趣。

要让学生进行充分的自主活动,使他们有机会经历概念产生的过程。

在概括概念后,应及时进行新旧概念的比较。

教师的语言作用很大,可以引导学生有的放矢地对具体事例进行分析、归纳和概括。否则学生就会用“尝试错误”的方式去辨别、分化概念的具体事物,速度减缓、概括质量不高。

(例、方程)

 

4、概念同化

概念同化属于接受学习,要使学生有意义地同化新概念,必须1、新概念具有逻辑意义;2、学生的认知结构中具备同化新概念的适当知识;3、学生积极主动地使新概念与他认知结构中的有关观念发生作用。(例:反比例)

 

 

5、影响概念学习的因素

1)学生的经验

研究表明,就智力与经验对概念学习的影响程度来看,经验的作用更大,丰富的经验背景是理解概念本质的前提,否则将容易导致死记硬背概念的字面定义而不能领会概念的内涵。(魏洁学生卖包子、)经验有时会带来副作用(除法中a÷0.75>a,学生不理解、)为解决这个问题,就应该将基本概念的教学放在重要位置。在这里我们强调让学生利用概念进行反复练习的重要性,这种练习不是机械练习,因为数学概念同学生的现实之间的距离比较遥远,如果他们没有机会对概念进行反复练习,那么达到理解所需要的那种感觉就难以建立。这种反复训练应该与学生的认知水平相互适应,应该及时地向学生提出理解上的高标准。

2)感性材料或感性经验

概念形成主要依靠对感性材料的抽象概括,概念同化则主要依靠对感性经验的抽象概括。所以感性材料或感性经验是影响概念学习的重要因素。具体考虑四个方面:

数量:感性材料或感性经验的数量太少,学生对概念的感知不充分,对掌握概念所必须的经验不能建立起来,就难以对概念对象的各种要素进行全面鉴别,这样就会由于对概念的关键属性和无关属性的比较不充分而无法建立理解概念所需要的坚实基础。

变式:变式是变更对象的非本质特征的表现形式,变更观察事物的角度或方法,以突出对象的本质特征。变式的运用要掌握好时机,只有在学生对概念有了初步理解,在对这种理解的进一步深化过程中运用变式,才能收到好的效果,否则,如果在学生没有对概念建立初步理解时就运用变式,将会使学生不能理解变式的目的,变式的复杂性会干扰学生概念理解的思路,使学生产生理解上的混乱。

典型性:概念的本质特征越明显,学习越容易,非本质特征越多,学习越困难。(教学设计要简明实用)

反例:概念的反例提供了最有利于辨别的信息,对概念认识的深化具有非常重要的作用。(例如两条不相交的直线叫做平行线)应该注意的是,我们不能在学生刚刚接触概念时就运用反例,否则将有可能使错误概念先入为主,对概念的理解产生干扰。反例是在学生对概念有了一定理解的基础上才能使用的。

3)学生的概括能力和语言表达能力。

概括需要学生对事物的具体属性进行分化,再抽象出共同的、本质的属性。概念的叙述过程实际上表明了概念应用时应该遵循的一种操作程序(例两个数相加,交换两个加数的位置,和不变)

 

 

6、概念教学的策略

为学生提供教学情境时,要对正例与反例作出恰当的组合。

减少无关属性的数量,可以比较容易学习概念。

告诉学生如何注意相关属性,会有助于概念学习(关注学法指导)

学生用自己的语言来表述相关属性,可以更好地习得概念。

学生动手操作,比只用眼观察更好。

反馈越完整,学习效果越好。

学习概念要有足够的时间保证。

许多概念是相互联系在一起习得的。

 

三、数学技能的形成

1、技能形成的行为指标

准确性、速度、协调性(手脑并用,读、写、看、算融为一体)、自动化

2、形成技能

第一,要使学生明确,在进行实际操作之前,首先应该确定活动的目标,这是顺利完成操作动作的前提。

第二,要使学生养成依据所规定的动作顺序进行系列操作,依次完成每一个步骤的习惯,以及及时检查的习惯。

第三,要使学生明确每一个操作步骤的根据,这是知识掌握与技能形成同步的要求。

第四,要注意变式的应用。

第五,要求学生用自己的语言叙述操作的目标、步骤及其技能。

 

四、数学知识掌握的三个阶段

1、增生阶段:这一阶段学生接触各种知识,包括名词、术语等,对学生来说象是外来的。学生力图使这些材料与自己已有认知结构之间建立联系。在这一阶段的教学中,教师重点考虑的应是从学生数学的生活环境中挖掘有用的材料,通过材料来启发学生开展同化活动。

2、重建阶段:由于重复接触和由此产生的经验的作用,一些观念和其他观念之间建立了联系。教师要起到引导、有效组织的作用。

3、融会贯通阶段:知识在头脑中形成一种结构,知识点之间形成丰富的连接,序列清晰。

在某一领域,需要经过几千小时的有效训练,并在训练中形成大量的经验才能达到融会贯通阶段。这一阶段的教学应该让学生进行变式训练,在与相关知识的联系中应用知识,并要给予及时的矫正性反馈,使学生的理解达到足够的深度和广度。

只有掌握了数学思想方法才是真正达到融会贯通。

数学思想方法的层次:1、解题术,2、解题方法,3、数学思想(分类、化归、函数、数形结合)4、数学观念,是一种哲学思想